Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, guten Morgen. Ich freue mich, dass Sie alle da sind. Ich freue mich, Sie wiederzusehen.

Ich hoffe, Sie haben sich auch ein bisschen erholt in der Pause und jetzt können wir wieder einsteigen.

Wahrscheinlich haben Sie nicht die ganze Zeit Mathematik gemacht. Deshalb fangen wir nochmal an,

womit beschäftigen wir uns hier mit Mengen und Abbildungen. Abbildungen sind Zuordnungen

zwischen den Objekten von Mengen. Wir haben ja schon diverse Mengen kennengelernt.

Für den Begriff Menge selbst eine formale Definition zu liefern ist recht aufwendig.

Deshalb arbeiten wir hier mit dem naiven Mengenbegriff.

Das ist eine verbale Definition von Georg Cantor.

Eine Menge ist einfach eine Zusammenfassung von Elementen und Elemente sind wohl definierte Objekte

unseres Denkens. Was das so heißt, wissen Sie ja, Sie haben ja schon viel gedacht.

Also eine Menge stellen Sie sich einfach vor als einen Topf und da sind eben diese Elemente drin.

So ist es glaube ich gut. Zusammenfassung von Elementen. Typischerweise haben diese

Mengen-Elemente ja etwas mit Zahlen zu tun und die Zahlenmengen, die haben wir ja schon lange

definiert. Also unsere Zahlenmengen. Da haben wir ja mit den natürlichen Zahlen begonnen.

1, 2, 3 und so weiter. Und das dann erweitert zu der Menge der ganzen Zahlen z, wo auch die

negativen Zahlen drin waren, wo man also auch etwas abziehen kann und in den negativen Zahlenbereich

kommen kann. Dann kann man daraus die Quotienten bilden und erhält die Menge der rationalen Zahlen q.

Und wenn man die dann vervollständigt zu der reellen Achse, erhält man R, wo das

Vollständigkeitsaktion gilt. Also wo Sie für eine nach unten beschränkte Menge immer ein Infimum

haben und für eine nach oben beschränkte Menge immer ein Supremum in dieser Zahlmenge existiert.

Also das können Sie sich ja ganz anschaulich als einen kompletten Pfeil vorstellen. Da liegen

wir rationalen Zahlen, die irrationalen, so wie Wurzel 2 und auch noch der Rest, so wie die Euler

Zahl und Pi. Die finden Sie alle auf der reellen Achse. Aber um alle quadratischen Gleichungen

lösen zu können, also in Linearfaktoren zerlegen zu können, brauchen wir dann noch die komplexen

Zahlen. Also die imaginäre Achse kommt dazu und dann haben Sie die komplexe Zahlenebene. Und damit

war dann unser Zahlensystem komplett. Also das waren die Zahlenmengen. Mengendefinitionen sehen

ja so aus. Sie haben diese Mengenklammern, geschweifte Klammern und da drin steht dann,

was in der Menge drin ist. Also die Menge aller n sagen wir aus den natürlichen Zahlen und dann

ein Doppelpunkt mit der Eigenschaft n ist zum Beispiel gleich 2m für ein m aus dieser Menge

der natürlichen Zahlen. Und das sind dann die Vielfachen von 2, also die geraden natürlichen

Zahlen. Eine Menge ist wohl definiert, wenn Sie für jedes Objekt entscheiden können,

ob es in der Menge drin ist oder nicht. Und das können Sie hier ja leicht machen. Sie schauen sich

die natürliche Zahl an und gucken dann, ob sie durch 2 teilbar ist oder nicht. Und dann ist sie

entweder drin in der Menge oder nicht. In den reellen Zahlen, also auf dem Zahlenstrahl, haben

wir oft es mit Intervallen zu tun. Daher nochmal die Notation für die intervalle. Reelle Intervalle.

Um ein Intervall zu definieren, brauchen wir Intervallgrenzen. Es seien also a, b reelle Zahlen.

Das sind jetzt unsere Intervallgrenzen. Und dann gibt es zum Beispiel die abgeschlossenen Intervalle.

Die werden mit diesen eckigen Klammern notiert. a, b ist das abgeschlossene Intervall von a bis b.

Da ist was drin, wenn a kleiner gleich b ist. Und das Entscheidende ist hier, dass diese beiden

Randpunkte a und b dann auch zu dem Intervall gehören. Also in dieser anderen Notation besteht

das aus allen reellen Zahlen mit der Eigenschaft a kleiner gleich x kleiner gleich b. Das ist dann

ein abgeschlossenes Intervall. Und warum heißt das abgeschlossen? Man kann allgemein etwas definieren,

das ist ein Häufungspunkt. Anschaulich ist das so an der Ebene ein Punkt, wo sich die Punkte aus

einer Menge häufen. Also man findet dann in der Nähe dieses Punktes immer beliebig viele andere

Punkte aus der Menge. Und man kann diesen Begriff der abgeschlossenheit auf beliebige Mengen

verallgemeinern. Eine Menge heißt abgeschlossen, wenn sie alle ihre Häufungspunkte enthält. Und dieser

Begriff der abgeschlossenheit hier bei den Intervallen, das ist also ein spezielles Beispiel

für einen Begriff, der ganz allgemein in der Topologie dann auch verwendet wird. Im Gegensatz

dazu die offenen Intervalle a b, die bestehen nur aus inneren Punkten. Also wenn sie so ein